محاسبه c' و φ' از آزمایش سه‌محوری CU با اکسل: روش p'–q و مثال کامل

در آزمایش سه‌محوری CU با اندازه‌گیری فشار آب حفره‌ای، پارامترهای مقاومت مؤثر (c' و φ') را از چند نمونه به دست می‌آوریم. رسم دایره‌های مور شهودی است، ولی در عمل برازش خط روی نمودار p'–q دقیق‌تر و در اکسل کاملاً تکرارپذیر است.

مفهوم: نمودار p'–q

ابتدا تنش‌های مؤثر در لحظه‌ی گسیختگی از σ' = σ − u به دست می‌آیند. سپس برای هر نمونه دو کمیت محاسبه می‌شود (تعریف MIT):

p' = (σ'₁ + σ'₃) / 2 ، q = (σ'₁ − σ'₃) / 2

نقطه‌های گسیختگی نمونه‌ها تقریباً روی یک خط راست می‌افتند: q = a + p'·tanα. ارتباط این خط با پارامترهای مور–کولمب چنین است:

sin φ' = tan α ، c' = a / cos φ'

مثال کامل با سه نمونه

سه نمونه‌ی رس اشباع از یک لایه، با تنش‌های محصورکننده‌ی متفاوت آزمایش شده‌اند (همه‌ی تنش‌ها بر حسب kPa؛ σ₁ و σ₃ در جدول مقدارهای مؤثرند):

برازش خط کمترین مربعات روی سه نقطه‌ی (p', q) نتیجه می‌دهد: tanα ≈ ۰٫۵۰۱ و عرض از مبدأ a ≈ ۸٫۳۱ kPa. در نتیجه:

φ' = arcsin(0٫501) ≈ ۳۰٫۱° ، c' = ۸٫۳۱ / cos(۳۰٫۱°) ≈ ۹٫۶ kPa

ضریب تعیین برازش (R²) برابر ۰٫۹۹۹۸ است؛ یعنی نقاط تقریباً کاملاً روی یک خط‌اند. توجه کن که پارامترهای تنش کل همین آزمایش (برای تحلیل کوتاه‌مدت) عدد دیگری می‌دهند: حدود ۲۱٫۰ درجه و ۱۲٫۸ kPa. پارامترهای مؤثر برای تحلیل بلندمدت و پارامترهای تنش کل برای تحلیل زهکشی‌نشده کوتاه‌مدت به کار می‌روند و نباید با هم قاطی شوند.

مراحل انجام در اکسل

• ستون‌های σ₃، (σ₁−σ₃)_f و u_f را وارد کن.
• σ'₃ = σ₃ − u_f و σ'₁ = σ'₃ + (σ₁−σ₃)_f را حساب کن.
• p' و q را با فرمول‌های بالا بساز.
• شیب و عرض از مبدأ: =SLOPE(q, p') و =INTERCEPT(q, p')
• زاویه اصطکاک: =DEGREES(ASIN(شیب)) و چسبندگی: =عرض_از_مبدأ/COS(ASIN(شیب))
• کیفیت برازش: =RSQ(q, p')

کنترل کیفیت نتیجه

• R² پایین یا یک نقطه‌ی پرت یعنی باید نمونه‌ها، اشباع‌سازی یا ناهمگنی لایه بررسی شود.
• اگر عرض از مبدأ منفی شد، c' منفی معنی ندارد؛ معمولاً c' = 0 گرفته می‌شود و φ' از خط گذرنده از مبدأ دوباره محاسبه می‌شود.
• پوش گسیختگی فقط در دامنه‌ی تنشی که آزمایش شده معتبر است و برون‌یابی نکن.
• معیار گسیختگی (مثلاً بیشینه‌ی تنش انحرافی) را در گزارش بنویس.
• نتیجه را با رسم دایره‌های مور هم یک‌بار کنترل کن.

خطاهای رایج

• استفاده از σ₃ کل به‌جای σ'₃ در رگرسیون پارامترهای مؤثر
• فراموش کردن فشار آب حفره‌ای u_f در لحظه‌ی گسیختگی
• ترکیب نمونه‌های لایه‌های مختلف در یک برازش
• گزارش پارامترها بدون ذکر روش آزمایش و دامنه‌ی تنش

مبانی انتخاب مسیر آزمایش و نمونه‌برداری را در مقاله‌ی آزمایش سه‌محوری خاک بخوان.